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> Anhalteweg, Physikalische Herleitung
Hornblower
Beitrag 19.07.2007, 18:21
Beitrag #1


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Hallo Allerseits,

bedingt durch eine Anfrage zur Berechnung von Bremswegen letztens und die Diskussion über den Mercedes, der in eine Einsatzstelle geschleudert ist, habe ich nochmal mein Post zum Anhalteweg vom April 2006 vorgekramt und die aufgrund eines Domainwechsels verlorengegangenen Diagramme neu verlinkt.

Ich denke, diese Diagramme sind nützlich und von allgemeinem Interesse für Bremsweg- und Restgeschwindigkeits-Diskussionen. Die Moderation möge mir deshalb diesen "Doppelpost" verzeihen. wink.gif


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Der Anhaltevorgang setzt sich zusammen aus der Reaktion und dem eigentlichen Bremsvorgang. Es gilt für den Anhalteweg:

S(Stop) = S(Reaktion) + S(Brems)

Der Reaktionsweg läßt sich recht einfach beschreiben: Man döst träge vor sich hin, und wie wir wissen, neigen träge Massen dazu, sich kräftefrei weiterzubewegen. Der Reaktionsweg läßt sich also trivial berechnen:

(01) Vo = S(Reaktion) / t(Reaktion)

Mit:
Vo: Anfangsgeschwindigkeit
t(Reaktion): Reaktionszeit

Stellen wir die Gleichung (01) um nach S(Reaktion), so erhalten wir:

(02) S(Reaktion) = Vo * t(Reaktion)

Für die Zeit t(Reaktion) gleiten wir also mit Vo dahin und legen die Strecke S(Reaktion) zurück.

Nun endlich beginnen wir, zu bremsen. Gehen wir in erster Näherung von einer konstanten Verzögerung aus, so verändert sich unsere Geschwindigkeit als Funktion der Zeit gemäß:

(3) V = Vo – a * t

Mit:
t: Zeit nach Einleiten der Bremsung
V: Momentangeschwindigkeit zur Zeit t
a: Bremsbeschleunigung

Seit Beginn der Bremsung bis zum Zeitpunkt t legen wir einen Bremsweg S(Brems) zurück, der sich zusammensetzt denken lässt aus dem Teil der mit der konstanten Endgeschwindigkeit zurückgelegten Strecke und dem Teil der mit der linear abnehmenden Geschwindigkeit zurückgelegten Strecke:

(4) S(Brems) = ½ a t² + Vt

Erfolgt die Bremsung bis zum Stillstand, dann ist V = 0 und es bleibt nur noch der Streckenteil aus der linear abnehmenden Geschwindigkeit.

Stellen wir Gleichung (3) nach t um, so erhalten wir:

(5) t = (Vo – V) / a

Einsetzen von (5) in Gleichung (4) führt uns zu:

(6) S(Brems) = ½ a (Vo/a – V/a)² + V (Vo/a – V/a)

Anwendung der 2. Binomische Formel und Auflösen des hinteren Klammer-Terms liefert:

(7) S(Brems) = ½ a (Vo²/a² - 2VVo/a² + V²/a²) + VVo/a – V²/a

Auflösen des Klammer-Terms und Aufräumen bringt:

(8) S(Brems) = Vo²/(2a) + V²/(2a) – V²/a

Nach Erweitern des letzten Bruches um 2 und Zusammenfassen der Summanden kommen wir zu:

(9) S(Brems) = (Vo² - V²) / (2a)

Diese Gleichung können wir nun einfach nach V auflösen und bekommen einen Zusammenhang, der uns die Geschwindigkeit als Funktion der Anfangsgeschwindigkeit, der Bremsverzögerung und der zurückgelegten Bremsstrecke beschreibt:

(10) V = Wurzel( Vo² - 2 * a * S(Brems))

Im Folgenden wurden nun mit den Formeln (10) und (02) der Geschwindigkeits-Weg-Zusammenhang für den Anhalteprozes aus der Anfangsgeschwindigkeit Vo berechnet und graphisch dargestellt.

Im ersten Fall wird von einer sehr guten Bremsverzögerung von a = 7 m/s² und einer schnellen Reaktion von 1 s ausgegangen.

Im zweiten Fall wird von einer realistischeren Verzögerung von 5 m/s² ausgegangen (Otto-Normalauto, nichtoptimaler Straßenbelag und – wie mein Sicherheitstraining gezeigt hat – trauen sich viele Fahrer nicht, richtig in die Eisen zu gehen) sowie einer Reaktionszeit von 1,5 s (die für einen wirklich unvorbereiteten Fahrer eher zutrifft).

Auf GM_s besonderen Wunsch ist auch ein Diagramm für eine Verzögerung von 9 m/s² und 1 s Reaktionszeit angefügt. Da der Normalfahrer im gegensatz zu meinem Nick keinen Anker mitführt, habe ich denn mal auf die Darstellung von Verzögerungen > 9 m/s² verzichtet. whistling.gif

Viele Grüße,

H.H.







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cheffe
Beitrag 19.07.2007, 18:28
Beitrag #2


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Sehr gute Ausarbeitung, Captain, aber warum hören die Graphiken bei 220 auf? wink.gif


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OlafSt
Beitrag 19.07.2007, 21:48
Beitrag #3


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Ein Kandidat für's FAQ wavey.gif

Schon erledigt
FAQ: Anhalteweg, Bremsweg , Reaktionsweg Definition, Faustformeln und physikalische Herleitung

Der Beitrag wurde von Tortenjan bearbeitet: 20.07.2007, 01:49


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ZITAT(blue0711)
Ich muss als VT nicht mit jedem erdenklichen Unsinn als Reaktion von Anderen auf meine blosse Existenz in einem in der Praxis doch recht subjektiv eingeschätzten imaginären Raum rechnen.
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